求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

Question

求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

Answer 1

已知：在平行四边形ABCD中，AC，BD是其两条对角线，
求证：AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又∵AE²+BE²=AB²，
即：AC²+BD²=2（AB²+BC²）．
∵AB=CD，AD=BC，
∴AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²