如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB=60°，AD=23时，求sin∠AED的值，求∠EAD的正切值．

Question

如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．

（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=2√(3)时，求sin∠AED的值，求∠EAD的正切值．

Answer 1

（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°．
∴四边形ODEC是矩形．

（2）如图，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
∵AC⊥BD，∠ADB=60°，AD=2√(3)，
∴OD=√(3)，AO=OC=3．
∵四边形ODEC是矩形，
∴DE=OC=3，∠ODE=90°．
又∵∠ADO+∠ODE+∠EDF=180°，
∴∠EDF=30°．
在Rt△DEF中，∠F=90°，∠EDF=30°，
∴EF=(1)/(2)DE=(3)/(2)．
∴DF=(3√(3))/(2)．
在Rt△AFE中，∠DFE=90°，
∴tan∠EAD=(EF)/(AF)=(EF)/(AD+DF)=((3)/(2))/(2√(3)+(3√(3))/(2))=(√(3))/(7)．