如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为（-2,0）,点B是点A关于原点的对称点,P是函数图象上如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为（-2,0）,点B是点A关于原点的对称点,P是函数y=x+根号2

Question

如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为（-2,0）,点B是点A关于原点的对称点,P是函数 图象上
如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为（-2,0）,点B是点A关于原点的对称点,P是函数 y=x+根号2图象上的一点,且△ABP是直角三角形．
（1）求点P的坐标；
（2）如果二次函数的图象经过A、B、P三点,求这个二次函数的解析式；

Answer 1

（1）由题意,得点B的坐标为（2,0）．
设点P的坐标为（x,y）,
由题意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．
（i）当∠ABP=90°时,x=2,y=1,
∴点P坐标是（2,1）；
（ii）当∠APB=90°时,PA2+PB2=AB2,
即（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=16①．
又由y=2x,可得y2=4x2,
代入①解得：x=±2（负值不合题意,舍去）．
当x=2时,y=2．
∴点P点坐标是（2,2）．
综上所述,点P坐标是（2,1）或（2,2）．
（2）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,
（i）当点P的坐标为（2,1）时,点A、B、P不可能在同一个二次函数图象上；
（ii）当点P的坐标为（2,2）时,代入A、B、P三点的坐标,
解得：a=-22b=0c=22
∴所求的二次函数解析式为y=-22x2+22．
（3）∠BPD=∠BAP．
证明如下：
∵点C坐标为（0,22）,
∴直线PC的表达式为y=-x+22．
∴点D坐标为（22,0）．
∴PD=2,BD=22-2,AD=22+2．
PDAD=222+2=2-1,
∴BDPD=PDAD．
∵∠PDB=∠ADP,
∴△PBD∽△APD．
∴∠BPD=∠BAP．