在凸四边形ABCD中，M是AB的中点，O是对角线AC与BD的交点，延长MO与CD交于Q点，求证：S△BCOS△ADO＝CQDQ．

Question

在凸四边形ABCD中，M是AB的中点，O是对角线AC与BD的交点，延长MO与CD交于Q点，求证：(S△BCO)/(S△ADO)＝(CQ)/(DQ)．

Answer 1

证明：S_△AOM=AO×OM×sinAOM÷2=AM×hAB÷2，
S_△BOM=BO×OM×sinBOM÷2=BM×hAB÷2，
且M为A、B的中点，故AM=BM．
∴S_△AOM=S_△BOM，
∴AO×sinAOM=BO×sinBOM，
∴AO：BO=sinBOM：sinAOM…1
∵S_△COQ=OC×OQ×sinCOQ÷2=CQ×hDC÷2…2
S_△DOQ=DC×OQ×sinDOQ÷2=DQ×hDC÷2…3
且∠AOM=∠COQ，∠BOM=∠DOQ，
故S_△COQ=OC×OQ×sinAOM÷2，S_△DOQ=DC×OQ×sinBOQ÷2，
S_△COQ：S_△DOQ=OC×sinAOM：（OD×sinBOM），
将1式代入上式得S_△COQ：S_△DOQ=OC×OB：（OD×OA），
将2式÷3式亦可得：S_△COQ：S_△DOQ=CQ：DQ，
∴(OB×OC)/(AO×OD)=(CQ)/(DQ)，
∵(S△BOC)/(S△AOD)=(OB×OC×sinBOC)/(2)÷(AO×OD×sinAOD)/(2)，
且∠BOC=∠AOD，
∴(S△BCO)/(S△ADO)＝(CQ)/(DQ)．