梯形中位线逆定理是什么?要怎样证明?

Question

梯形中位线逆定理是什么?要怎样证明?

Answer 1

逆定理：一个凸四边形,两对边中点连线等于另外两边和的一半 ,则他是梯形
证明：
如图：凸四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,且EF=(AB+CD)/2
求证：AB∥CD
证明：用反证法.
假设AB、CD不平行,则：EF至少与AB、CD中的一条线段不平行（否则AB∥EF∥CD）
不妨设EF、AB不平行,连接BD交EF于G,则：EG、AB不平行
过E作EH∥AB交EF于异于G的H点,
∵E是AD的中点---->EH是三角形ABD的中位线,∴H是BD的中点且EH=AB/2
又∵F是BC的中点---->FH是三角形CBD的中位线,∴FH=CD/2
在三角形EFH中,EH+FH=(AB+CD)/2＞EF,与EF=(AB+CD)/2矛盾
∴假设不成立,AB∥CD