已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=-1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，-2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．

Question

已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=-1相切．
（1）求圆心M的轨迹方程；
（2）动直线l过点P（0，-2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．

Answer 1

（1）∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C（0，1）的距离，
∴动点M的轨迹为抛物线，且(p)/(2)=1，解得：p=2，
∴动点M的轨迹方程为x²=4y；
（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C（-x₂，y₂）．
联立

y=kx-2

x2=4y

，化为x²-4kx+8=0，
△=16k²-32>0，
解得k>√(2)或k<-√(2)．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8．
直线直线AC的方程为：y-y₂=-(y2-y1)/(x2+x1)（x+x₂），
又∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴4ky-4k（kx₂-2）=（kx₂-kx₁）x+kx₁x₂-kx₂²，
化为4y=（x₂-x₁）x+x₂（4k-x₂），
∵x₁=4k-x₂，
∴4y=（x₂-x₁）x+8，
令x=0，则y=2，
∴直线AC恒过一定点（0，2）．