求二元函数z=x2-xy+y2在点（-1，1）沿方向l＝{2，1}的方向导数及梯度，并指出z在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向z的值不变？

Question

求二元函数z=x²-xy+y²在点（-1，1）沿方向

l

＝{2，1}的方向导数及梯度，并指出z在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向z的值不变？

Answer 1

函数z处处可微，且(∂z)/(∂x)=2x-y，(∂z)/(∂y)=2y-x．
将向量

l

单位化可得：

l0

=(l)/(|l|)=((2)/(√(5))，(1)/(√(5)))．
故函数z在点（-1，1）处的梯度为：((∂z)/(∂x)，(∂z)/(∂y))|(−1，1)=（-3，3），
在点（-1，1）处沿向量

l

的方向导数值为：(

作业帮用户 2017-10-25

问题解析

计算z在点（-1，1）处的梯度，与对应于

l

的单位向量点乘即可得到所求的方向导数；z沿梯度方向减少最快，沿与梯度垂直的方向z的值不变．

名师点评

本题考点：

方向导数的求法；梯度的概念与求解；梯度的几何意义和物理意义．

考点点评：

本题考查了函数梯度的计算、方向导数的计算以及梯度的意义，具有较强的综合性，难度系数适中．在本题中需要注意的是，当函数可微时，可以利用公式计算方向导数；而当函数不可微时，只能利用方向导数的定义进行计算．

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