本题共两问,第一问本人已做出,不过还是想看下大家的做法.1、证明有无数个正整数可以分解为一个完全平方数与一个质数的和2、证明有无数个正整数不可以分解为一个完全平方数与一个质

Question

本题共两问,第一问本人已做出,不过还是想看下大家的做法.
1、证明有无数个正整数可以分解为一个完全平方数与一个质数的和
2、证明有无数个正整数不可以分解为一个完全平方数与一个质数的和
第二问证出来再给10分

Answer 1

1、令 p 为任一质数,N为正整数,令N从1到无穷取值
那么N^2 + p 就可以分解为一个完全平方数与一个质数的和.
N有无数个,那么同样 N^2 + p 也有无数个.
2、 令N为正整数,那么我们看N^2,假设它分解为一个完全平方数M^2和质数p的和
N^2 - M^2 = (N-M)(N+M),也就是N^2 = M^2+(N-M)(N+M)
也就是说,(N-M)(N+M)如果要满足是质数的条件必须是 N-M=1,且N+M是质数.
那么结论就有了,肯定存在无数多的N,使得 N+N-1 = 2N-1 不是质数.它的平方数N^2不可以
分解为一个完全平方数与一个质数的和.
如果不懂可追问.