f(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶连续可导,证明存在c,使f(a)+f(b)-2f((a+b)/2)=1/4f''(c)用泰勒定理,同时因为二阶连续可导要巧妙的用一下介值定理,

Question

f(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶连续可导,证明存在c,使f(a)+f(b)-2f((a+b)/2)=1/4f''(c)
用泰勒定理,同时因为二阶连续可导要巧妙的用一下介值定理,

Answer 1

题目有点错,以前做过证明如下：
构造F(x)=f(x+(b-a)/2)-f(x)
在区间[a,(a+b)/2]上用两次Lagrange 中值定理得
F((a+b)/2)-F(a)=F'(ε)((a+b)/2-a)
=[f'(ε+(b-a)/2)-f'(ε)][(b-a)/2]
=f''(c)[(b-a)^2/4] 其中c属于[a,(a+b)/2]
而F((a+b)/2)-F(a)=f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)所以得证.