已知函数f(x)＝−12+12x+1（1）证明：函数f（x）是奇函数．（2）证明：对于任意的非零实数x恒有xf（x）＜0成立．

Question

已知函数f(x)＝−(1)/(2)+(1)/(2x+1)
（1）证明：函数f（x）是奇函数．
（2）证明：对于任意的非零实数x恒有xf（x）＜0成立．

Answer 1

（1）∵函数f(x)＝−(1)/(2)+(1)/(2x+1)，
∴f(−x)＝−(1)/(2)+(1)/(2−x+1)＝−(1)/(2)+(2x)/(1+2x)…．（2分）
=−(1)/(2)+1−(1)/(1+2x)＝(1)/(2)−(1)/(1+2x)＝−f(x)…．（4分）
又函数f（x）的定义域为R，故函数f（x）为奇函数．…．（5分）
（2）证明：令g（x）=x f（x）由（1）易知函数g（x）为偶函数，…．（6分）
当x＞0时，由指数函数的单调性可知：2^x＞1，
∴1+2^x＞2，…．（7分）
可得0＜(1)/(1+2x)＜(1)/(2)，
∴−(1)/(2)＜−(1)/(2)+(1)/(1+2x)＝f(x)＜0，
故x＞0时有x f（x）＜0．…．（8分）
又g（x）=x f（x）是偶函数，当x＜0时，-x＞0，
∴当x＜0时g（x）=g（-x）＜0，即对于x≠0的任何实数x，均有x f（x）＜0．…．（10分）