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证明1+xIn(x+根号下1+x^2)>根号下1+x^2(x>0)
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证明1+xIn(x+根号下1+x^2)>根号下1+x^2(x>0)
▼优质解答
答案和解析
证明如下
设f(x)=1+xln[x+√(1+x^2)]-√（1+x^2）,x＞0,
则f'(x)=ln[x+√（1+x^2)]+x[1+x/√（1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]-x/√（1+x^2)
=ln[x+√（1+x^2)]>0,
∴f(x)在定义域上递增,∴f(x)>f(0)=0,
∴1+xln[x+√(1+x^2)]>√（1+x^2）.
设f(x)=1+xln[x+√(1+x^2)]-√（1+x^2）,x＞0,
则f'(x)=ln[x+√（1+x^2)]+x[1+x/√（1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]-x/√（1+x^2)
=ln[x+√（1+x^2)]>0,
∴f(x)在定义域上递增,∴f(x)>f(0)=0,
∴1+xln[x+√(1+x^2)]>√（1+x^2）.
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