已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数y=13x3-ax2+bx+5有极值的概率（）A.14B.12C.23D.34

Question

已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数y=(1)/(3)x³-ax²+bx+5有极值的概率（　　）
A. (1)/(4)
B. (1)/(2)
C. (2)/(3)
D. (3)/(4)

Answer 1

∵函数y=(1)/(3)x³-ax²+bx+5有极值
∴y′=x²-2ax+b，存在零点，
即x²-2ax+b=0有实数解，其充要条件是△=4a²-4b≥0．
即 a²≥b．
如图所示，区域-1≤a≤1，-1≤b≤1的面积（图中正方形所示）为4
2∫₀¹（1-x²）dx=2×（x-(1)/(3)x2）|₀¹=(4)/(3)，
而区域a²≥b，
在条件-1≤a≤1，-1≤b≤1下的面积（图中阴影所示）为：
2+2∫₀¹x²dx=2+2×（(1)/(3)x2）|₀¹=2+(2)/(3)=(8)/(3)．
所求概率为((8)/(3))/(4)＝(2)/(3)．
故选C．