设ab是非零实数x属于R若sin^4x/a^2+cos^4x/b^2=1/(a^2+b^2)求sin^2008x/a^2006+cos^2008x/b^2006

Question

设a b 是非零实数 x属于R 若 sin^4x/a^2+cos^4x/b^2=1/(a^2+b^2) 求sin^2008x/a^2006+cos^2008x/b^2006

Answer 1

即 (sinx)^4+(b^2/a^2)(sinx)^4+(cosx)^4+(a^2/b^2)(cosx)^4=1 (1)
又因为
(sinx)^4+(cosx)^4
=[(sinx)^2+(cosx)^2]^2-2(sinx)^2*(cosx)^2
=1-2(sinx)^2*(cosx)^2
将此式代入(1)式,两边消去常数1得到
(b^2/a^2)(sinx)^4+(a^2/b^2)(cosx)^4 = 2(sinx)^2*(cosx)^2 (2)
因此由(2)式：
(b^2/a^2)(sinx)^4+(a^2/b^2)(cosx)^4-2(sinx)^2*(cosx)^2 (这是一个完全平方)
=[(b/a)(sinx)^2-(a/b)(cosx)^2]^2
=0
从而必有 (b/a)(sinx)^2 = (a/b)(cosx)^2,即 (sinx)^2/(cosx)^2=a^2/b^2.
结合 (sinx)^2+(cosx)^2=1 即可解出
(sinx)^2=a^2/(a^2+b^2) 以及 (cosx)^2=b^2/(a^2+b^2).
将上述 (sinx)^2 与 (cosx)^2 的值代入所求式中得到：
(sinx)^2008/a^2006 + (cosx)^2008/b^2006
=a^2008/[a^2006*(a^2+b^2)^1004] + b^2008/[b^2006*(a^2+b^2)^1004]
=a^2/(a^2+b^2)^1004 + b^2/(a^2+b^2)^1004
=(a^2+b^2)/(a^2+b^2)^1004
=1/(a^2+b^2)^1003
即所求式的值为 1/(a^2+b^2)^1003.