用部分自然数构造如图的数表：用aij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N+），使得ai1=aii=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，a（i+1）j=ai（j-1）+aij（i≥2，j≥2）．设第n

Question

用部分自然数构造如图的数表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N₊），使得a_i1=a_ii=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，a_（i+1）j=a_i（j-1）+a_ij（i≥2，j≥2）．设第n（n∈N₊）行的第二个数为b_n（n≥2）．

（1）写出第7行的第三个数； 
（2）写出b_n+1与b_n的关系并求b_n（n≥2）；
（3）设c_n=2（b_n-1）+n，证明：(1)/(c2)+(1)/(c4)+(1)/(c6)+…+(1)/(c2n)<(1)/(2)．

Answer 1

（1） 第7行的第三个数为41；
（2） 由已知得b_n+1=b_n+n，
∴当n≥2时，b₃-b₂=2，b₄-b₃=3，…，b_n+1-b_n=n，
累加，得：b_n+1-b₂=2+3+4+…+n，
∴b_n+1=1+（1+2+3+4+…+n）=1+(n(n+1))/(2)，
∴bn=1+(n(n-1))/(2)(n≥2)；
（3）证明：由（2）cn=2(bn-1)+n=n2，
∵(1)/(c2k)=(1)/(4k2)<(1)/(4k2-1)=(1)/(2)((1)/(2k-1)-(1)/(2k+1))，
∴(1)/(c2)+(1)/(c4)+(1)/(c6)+…+(1)/(c2n)<(1)/(2)(1-(1)/(3))+(1)/(2)((1)/(3)-(1)/(5))+…(1)/(2)((1)/(2n-1)-(1)/(2n+1))=(1)/(2)(1-(1)/(2n+1))<(1)/(2)．