已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF（1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是；（2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则（1）中的结论是

Question

已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF
（1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是___；
（2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明；
（3）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转30°时，CF边恰好平分线段AE，请直接写出 (CG)/(CB)的值．

Answer 1

（1）线段MD、MF的数量及位置关系是MD=MF，MD⊥MF，
理由：如图1，延长DM交EF于点P，

∵四边形ABCD和四边形FCGE是正方形，
∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP．∠CFE=90°．
∴△DFP是直角三角形．
∵M为AE的中点，
∴AM=EM．
在△ADM和△EPM中，

∠MAD=∠MEP

AM=EM

∠AMD=∠EMP

，
∴△ADM≌△EPM（ASA），
∴DM=PM，AD=PE，
∴M是DP的中点．
∴MF=(1)/(2)DP=MD，
∵AD=CD，
∴CD=PE，
∵FC=FE，
∴FD=FP，
∴△DFP是等腰直角三角形，
∴FM⊥DP，即FM⊥DM．
故答案为：MD=MF，MD⊥MF；

（2）MD=MF，MD⊥MF仍成立．
证明：如图2，延长DM交CE于点N，连接FN、DF，

∵CE是正方形CFEG对角线，
∴∠FCN=∠CEF=45°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠NEM，
在△ADM和△ENM中，

∠DAM=∠NEM

AM=EM

∠AMD=∠EMN

，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴EN=AD，DM=MN，
∵AD=CD，
∴CD=EN，
在△CDF和△ENF中，

CD=EN

∠DCF=∠CEF=45°

CF=EF

，
∴△CDF≌△ENF，（SAS）
∴DF=NF，
∴FM=DM，FM⊥DM．

（3）如图所示，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M，

由（1）可得FM=DM，FM⊥DM，
设FM=DM=1，
∵∠DCF=30°，
∴Rt△DCM中，CM=√(3)，CD=2=CB，
∴CF=√(3)+1=CG，
∴(CG)/(CB)=(√(3)+1)/(2)．