圆台侧面积推导过程rr'为别为上下两底面半径l为母线长侧面积s=πl(r+r')这个公式如何推导的?

Question

圆台侧面积推导过程
r r'为别为上下两底面半径 l为母线长
侧面积s=πl(r+r')这个公式如何推导的?

Answer 1

将侧面展开形成一个两扇形想减的环形区域
设小扇形的半径为R,则大扇形的半径为R+l
小扇形的弧长为：2πr
大扇形的周长为：2πr‘
它们所对应的圆心角相等
即 2πr/2πR=2πr’/2π（R+l）
R=lr/(r'-r)
侧面积s=环形区域面积=大扇形面积-小扇形面积
=2πr’/2π（R+l）*π（R+l）²-2πr/2πR * πR²
=r'π（R+l）-rπR
=（r‘-r）πR+r’πl
=（r‘-r）π*lr/(r'-r）+r’πl
=π*lr+r’πl
=πl（r+r‘）