在△ABC中,求证tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1不要用90°－A+C/2=cotB来做,因为我们物理在用cot,数学还没学到

Question

在 △ABC中,求证tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
不要用90°－A+C/2=cotB来做,因为我们物理在用cot,数学还没学到

Answer 1

证明：由于A,B,C为△ABC中三个内角 ,则:
tanA/2*tanB/2+tanB/2*tanC/2+tanC/2*tanA/2
=tanA/2*tanB/2+tanB/2*tan[pi/2-(A+B)/2]+tan[pi/2-(A+B)/2]*tanA/2
=tanA/2*tanB/2+tanB/2*cot[(A+B)/2]+cot[(A+B)/2]*tanA/2
=tanA/2*tanB/2+cot[(A+B)/2]*[tanA/2+tanB/2]
由于:tan[(A+B)/2]=[tanA/2+tanB/2]/[1-tanA/2*tanB/2]
故:tanA/2+tanB/2=tan[(A+B)/2]*[1-tanA/2*tanB/2]
则原式=tanA/2*tanB/2+cot[(A+B)/2]*{tan[(A+B)/2]*[1-tanA/2*tanB/2]}
=tanA/2*tanB/2 + 1 *(1-tanA/2*tanB/2)
=tanA/2*tanB/2+1-tanA/2*tanB/2=1