已知x^2/a^2+y^2/b^2（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的根号3倍,焦距为2根号21.求椭圆方程（算出来了）2.若直线y=x+1/2交椭圆于PQ两点,求证点B（0,-b）在以PQ为直径的圆上.（连立方程算不出来了）

Question

已知x^2/a^2+y^2/b^2（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的根号3倍,焦距为2根号2
1.求椭圆方程（算出来了）
2.若直线y=x+1/2交椭圆于PQ两点,求证点B（0,-b）在以PQ为直径的圆上.（连立方程算不出来了）

Answer 1

1.a^2 = 3b^2,a^2-b^2 = 8
所以b=2 a=2×根3
椭圆方程 x^2/12+y^2/4 = 1
2.其实就是证明PB垂直于QB
设P(x1,y1) Q(x2,y2)
向量BP=(x1,y1+2)
向量BQ=(x2,y2+2)
两个向量点积 = x1x2+y1y2+2(y1+y2)+4 = (y1-1/2)(y2-1/2)+y1y2+2(y1+y2)+4=2y1y2+3/2*(y1+y2)+17/4
把x=y-1/2带入椭圆方程得
(y-1/2)^2+3y^2 = 12
化简得16y^2-4y-47 = 0
y1+y2 = 1/4
y1y2 = -47/16
所以之前求的两个向量点积=2*(-47/16)+3/2*1/4+17/4=...
但是我算出来并不等于零.不过方法肯定是对的.也许是前面方程求错了吧,希望作为参考.