∫1/√(x^2+a^2)dx最后怎么得出ln(x+√(x^2+a^2))+c不用换元直接解的方法

Question

∫1/√(x^2+a^2)dx 最后怎么得出
ln(x+√(x^2+a^2))+c
不用换元 直接解的方法

Answer 1

∵1+(tan x)^2=(sec x)^2 设x=atan t √(x^2+a^2)=√[a^2+a^2(tan t)^2]=asec t ,x=atan t ∴dx=a(sec t)^2dt 原式=∫a(sec t）)^2dt /asec t
=∫sec t dt
=ln(sec t+tan t)+C
∵x=atan t∴ tan t=x/a ,sec t=√(x^2+a^2)/a.(在直角三角形中的斜边除以底)
∴原式=ln[x/a+√(x^2+a^2)/a]+C=ln[x+√(x^2+a^2)]+C/a 把(C/a)看成C即可