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已知以点C(t,3t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆过原点O.(Ⅰ)设直线3x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设B(0,2),且P、Q分别是直线l:x+y+2=0
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已知以点C(t,
)(t∈R,t≠0)为圆心的圆过原点O.
(Ⅰ) 设直线3x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,设B(0,2),且P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PQ|-|PB|的最大值及此时点P的坐标.
3 |
t |
(Ⅰ) 设直线3x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,设B(0,2),且P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PQ|-|PB|的最大值及此时点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵OM=ON,所以,则原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,则CH⊥MN,--------------------(1分)
∴C、H、O三点共线,
∵直线MN的方程是3x+y-4=0,
∴直线OC的斜率k=
=
=
,解得t=3或t=-3,
∴圆心为C(3,1)或C(-3,-1)-------------------------(4分)
∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=10或(x+3)2+(y+1)2=10
由于当圆方程为(x+3)2+(y+1)2=10时,圆心到直线3x+y-4=0的距离d>r,
此时不满足直线与圆相交,故舍去,
∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=10-------------------------(6分)
(Ⅱ) 在三角形PBQ中,两边之差小于第三边,故|PQ|-|PB|≤|BQ|
又B,C,Q三点共线时|BQ|最大-----------------------(9分)
所以,|PQ|-|PB|的最大值为|BC|+
=2
,
∵B(0,2),C(3,1),∴直线BC的方程为y=-
x+2,
∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-6,4)---------------------(12分)
设MN的中点为H,则CH⊥MN,--------------------(1分)
∴C、H、O三点共线,
∵直线MN的方程是3x+y-4=0,
∴直线OC的斜率k=
| ||
t |
3 |
t2 |
1 |
3 |
∴圆心为C(3,1)或C(-3,-1)-------------------------(4分)
∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=10或(x+3)2+(y+1)2=10
由于当圆方程为(x+3)2+(y+1)2=10时,圆心到直线3x+y-4=0的距离d>r,
此时不满足直线与圆相交,故舍去,
∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=10-------------------------(6分)
(Ⅱ) 在三角形PBQ中,两边之差小于第三边,故|PQ|-|PB|≤|BQ|
又B,C,Q三点共线时|BQ|最大-----------------------(9分)
所以,|PQ|-|PB|的最大值为|BC|+
10 |
10 |
∵B(0,2),C(3,1),∴直线BC的方程为y=-
1 |
3 |
∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-6,4)---------------------(12分)
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