设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为．

Question

设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y²=2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为___．

Answer 1

设P（2pt，2pt），M（x，y），则

x-(p)/(2)=(2p)/(3)t2-(p)/(6)

y=(2pt)/(3)

，
∴x=(2p)/(3)t2+(p)/(3)，y=(2pt)/(3)，
∴k_OM=(2t)/(2t2+1)=(1)/(t+(1)/(2t))≤(1)/(2√((1)/(2)))=(√(2))/(2)，
当且仅当t=(1)/(2t)时取等号，
∴直线OM的斜率的最大值为(√(2))/(2)．
故答案为：(√(2))/(2)．