已知∠MON=90°,线段AB长为6cm,AB两端分别在OM、ON上滑动,以AB为边作正方形ABCD,对角线AC、BD相交于点P,连结OC．（1）求OC的最大值；（2）求证：无论点A、点B怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上；

Question

已知∠MON=90°,线段AB长为6cm,AB两端分别在OM、ON上滑动,
以AB为边作正方形ABCD,对角线AC、BD相交于点P,连结OC．（1）求OC的最大值；（2）求证：无论点A、点B怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上；

Answer 1

（1）oc=3√5+3
（2）做PE垂直于OM交OM于E,作PF垂直于BO交BO于F
∵PE垂直于OM,PF垂直于OB,∠AOB=90°
∴矩形OEPF
∴∠FPE=90°
∵∠BPE+∠APE=90°
∠FPB+∠BPE=90°
∴∠FPB=∠EPA
∴△PFB≌△PEA（ASA）
∴AF=PE
∴矩形FPEO
∴正方形FPEO
∴∠FOP=∠POE=45°
∴P在∠AOB的角平分线上
（3）∵PE垂直于OA,∠POE=45°
∴PE=OE
∵OP=4√2
∴OE=PE=4
设AE=x
（x+4）（x+4）+（4-x）（4-x）=36
x=√2
∴OA=4+√2