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已知一直线与椭圆交于M,N两点,且OM垂直ON,求证1/（OM^2）+1/（ON^2）为定值
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已知一直线与椭圆交于M,N两点,且OM垂直ON,求证1/（OM^2）+1/（ON^2）为定值
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答案和解析
设直线OM为y=kx,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,于是：x^2=a^2b^2/(b^2+a^2k^2)
OM^2=x^2+y^2=(k^2+1)x^2=(k^2+1)a^2b^2/(b^2+a^2k^2)
则ON为：y=-x/k,ON^2=(1+1/k^2)a^2b^2/(b^2+a^2/k^2)=(k^2+1)a^2b^2/(b^2k^2+a^2)
1/（OM^2）+1/（ON^2）=(a^2+b^2)/(a^2b^2)=1/a^2+1/b^2(定值)
OM^2=x^2+y^2=(k^2+1)x^2=(k^2+1)a^2b^2/(b^2+a^2k^2)
则ON为：y=-x/k,ON^2=(1+1/k^2)a^2b^2/(b^2+a^2/k^2)=(k^2+1)a^2b^2/(b^2k^2+a^2)
1/（OM^2）+1/（ON^2）=(a^2+b^2)/(a^2b^2)=1/a^2+1/b^2(定值)
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