（2013•嘉定区二模）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于点B，联结OC．（1）如图1

Question

（2013•嘉定区二模）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O₁，射线AO₁交半圆O于点B，联结OC．

（1）如图1，求证：AB∥OC；
（2）如图2，当点B与点O₁重合时，求证：

AB

＝

CB

；
（3）过点C作射线AO₁的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O₁B=1时，求(CF)/(AF)的值．

Answer 1

（1）∵点O₁与点O关于直线AC对称，
∴∠OAC=∠O₁AC．
在⊙O中，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C．
∴∠C=∠O₁AC，
∴O₁A∥OC，
即AB∥OC；

（2）方法一：如图2，连结OB．
∵点O₁与点O关于直线AC对称，AC⊥OO₁，
由点O₁与点B重合，可得AC⊥OB．
∵点O是圆心，AC⊥OB，
∴

AB

＝

CB

；

方法2：∵点O₁与点O关于直线AC对称，
∴AO=AO₁，CO=CO₁，
由点O₁与点B重合，可得 AO=AB，CB=CO，
∵OA=OC，
∴AB=CB．
∴

AB

＝

CB

；

（3）当点O₁在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO₁+O₁B=AO+O₁B=6且OH⊥AB，
∴AH=(1)/(2)AB=3．
∴AE=EH+AH=5+3=8，
∵AB∥OC，
∴(CF)/(AF)=(OC)/(AE)=(5)/(8)，
当点O₁在线段AB的延长线上，如图4，
过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO₁-O₁B=AO-O₁B=4，
又∵OH⊥AB，
∴AH=(1)/(2)AB=2．
∴AE=EH+AH=5+2=7，
∵AB∥OC，
∴(CF)/(AF)=(CO)/(AE)=(5)/(7)．