如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E．（1）求证：AD∥OC；（2）若AE=25，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．

Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E． 
（1）求证：AD∥OC；
（2）若AE=2√(5)，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．

Answer 1

（1）证明：连结OA，如图，
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2√(5)，
在Rt△OAE中，∵AO²+OE²=AE²，
∴R²+（R-2）²=（2√(5)）²，解得R=4，
作OH⊥AB于H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，
则AH=BH，
∵(1)/(2)OH•AE=(1)/(2)•OE•OA，
∴OH=(OE•OA)/(AE)=(4×2)/(2√(5))=(4√(5))/(5)，
在Rt△AOH中，AH=√(OA2−OH2)=(8√(5))/(5)，
∴HE=AE-AH=2

作业帮用户 2017-10-26

问题解析

（1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2√(5)，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=(4√(5))/(5)，然后根据勾股定理计算出AH=(8√(5))/(5)，则HE=AE-AH=2√(5)-(8√(5))/(5)=(2√(5))/(5)，再利用BE=BH-HE进行计算．

名师点评

本题考点：

切线的性质．

考点点评：

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．

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