试求出所有的整数k，使得x的一元二次方程kx2-2（3k-1）x+9k-1=0的某一根是一个分母为1999的既约分数．

Question

试求出所有的整数k，使得x的一元二次方程kx²-2（3k-1）x+9k-1=0的某一根是一个分母为1999的既约分数．

Answer 1

kx²-2（3k-1）x+9k-1=0
△=[2（3k-1）]²-4×k×（9k-1）
=4（9k²-6k+1）-36k²+4k
=36k²-24k+4-36k²+4k
=4-20k＞0
∴k＜(1)/(5)．
x=(2(3k−1)±2√(1−5k))/(2k)
∴x₁=(3k−1+√(1−5k))/(k)，x₂=(3k−1−√(1−5k))/(k)．
当1-5k是完全平方数时，k=-3，-7，-16，-24，-39…
把这些k值代入方程的根得到有一个根是分母为1999的既约分数．