已知函数f（x）=lnx-ax．（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求a的值．

Question

已知函数f（x）=lnx-(a)/(x)．
（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为(3)/(2)，求a的值．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=(x+a)/(x2)
∵a＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在定义域上单调递增；
（2）由（1）知，f′（x）=(x+a)/(x2)
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数
∵f（x）在[1，e]上的最小值为(3)/(2)，
∴f（x）_min=f（1）=-a=(3)/(2)，
∴a=-(3)/(2)（舍去）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_min=f（e）=1-(a)/(e)=(3)/(2)，∴a=-(e)/(2)（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a．
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=(3)/(2)，∴a=-√(e)．
综上可知：a=-√(e)．