已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3）；（1）若数列{bn}满足bn=an-3an-1（n≥2），求数列{bn}的通项公式bn；（2）求数列{an}的通项公式．

Question

已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
（1）若数列{b_n}满足b_n=a_n-3a_n-1（n≥2），求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
∴a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），
即{a_n-3a_n-1}是公比q=-1的等比数列，首项a₂-3a₁=2-15=-13，
即{b_n}的通项公式b_n=-13×（-1）^n-1．
（2）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
∴a_n+a_n-1=3a_n-1+3a_n-2=3（a_n-1+a_n-2），
即{a_n+a_n-1}是公比前=3的等比数列，首项a₂+a₁=5+2=7，
∴a_n+a_n-1=7×3^n-1，①
由（1）得a_n-3a_n-1=-13×（-1）^n-1．②，
①×3+①得，
4a_n=3×7×3^n-1-13×（-1）^n-1．
即a_n=(1)/(4)[7×3ⁿ+13×（-1）ⁿ]．