已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式．（Ⅱ）令Cn=Sncos（anπ）（n∈N+），求{cn}的前n项和Tn．

Question

已知{a_n}是单调递增的等差数列，首项a₁=3，前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，首项b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）令C_n=S_ncos（a_nπ）（n∈N⁺），求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，
则a₂b₂=（3+d）q=12，①
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=9+3d+q=20，即3d+q=11，
变形可得q=11-3d，②
代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d²=12，
3d²-2d-21=0，
（3d+7）（d-3）=0，
又由{a_n}是单调递增的等差数列，有d>0．
则d=3，
q=11-3d=2，
a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ） cn=Sncos3nπ=

Sn=(3)/(2)n2+(3)/(2)n	n是偶
-Sn=-(3)/(2)n2-(3)/(2)n	n是奇

…（9分）
当n是偶数，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-…-S_n-1+S_n
=a2+a4+a6+…+an=6+12+18+…+3n=(3n(n+2))/(4)…（10分）
当n是奇数，Tn=Tn-1-Sn=(3(n-1)(n+1))/(4)-(3)/(2)n2-(3)/(2)n=-(3)/(4)(n+1)2
综上可得Tn=

(3n(n+2))/(4)	n是偶
-(3)/(4)(n+1)2	n是奇

…（13分）