设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm-1=13，Sm=0，Sm+1=-15．其中m∈N*且m≥2，则数列{1anan+1}的前n项和的最大值为（）A.24143B.1143C.2413D.613

Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S_m-1=13，S_m=0，S_m+1=-15．其中m∈N^*且m≥2，则数列{

(1)/(anan+1)}的前n项和的最大值为（　　）

A.

(24)/(143)

B.

(1)/(143)

C.

(24)/(13)

D.

(6)/(13)

Answer 1

∵S_m-1=13，S_m=0，S_m+1=-15，
∴a_m=S_m-S_m-1=0-13=-13，a_m+1=S_m+1-S_m=-15-0=-15，
又∵数列{a_n}为等差数列，
∴公差d=a_m+1-a_m=-15-（-13）=-2，
∴

(m-1)a1+((m-1)(m-2))/(2)×(-2)=13

ma1+(m(m-1))/(2)×(-2)=0

，
解得a₁=13
∴a_n=a₁+（n-1）d=13-2（n-1）=15-2n，
当a_n≥0时，即n≤7.5，
当a_n+1≤0时，即n≥6.5，
∴数列的前7项为正数，
∴(1)/(anan+1)=(1)/((15-2n)(13-2n))=(1)/(2)（(1)/(13-2n)-(1)/(15-2n)）
∴数列{(1)/(anan+1)}的前n项和的最大值为(1)/(2)（(1)/(11)-(1)/(13)+(1)/(9)-(1)/(11)+(1)/(7)-(1)/(9)+…+1-(1)/(3)）=(1)/(2)（1-(1)/(13)）=(6)/(13)．
故选：D