已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2-an=λ（Ⅱ）是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由．

Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数． （Ⅰ）证明：an+2-an=λ （Ⅱ）是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由．

Answer 1

(1)证明：由题设,anan＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1,
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
因为an＋1≠0,所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设,a1＝1,a1a2＝λS1－1,可得 a2＝λ－1,
由(1)知,a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列,则2a2＝a1＋a3,解得λ＝4,故an＋2－an＝4.
由此可得{a2n－1}是首项为1,公差为4的等差数列,
a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1,an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4,使得数列{an}为等差数列．