求均方根速率的积分怎么做啊?已知麦克斯韦分布F(v)=4π(m/2πkT)^(3/2)v^2exp[-mv^2/2kt]求∫F(v)v^2dv积分上下限为0到正无穷积分因子是F(v)乘v的平方吧,书上是这么写啊

Question

求均方根速率的积分怎么做啊?
已知麦克斯韦分布 F(v)=4π(m/2πkT)^(3/2)v^2exp[-mv^2/2kt]
求∫F(v)v^2dv 积分上下限为0到正无穷
积分因子是F(v)乘v的平方吧,书上是这么写啊

Answer 1

积分上下限为0到正无穷的x^m*exp[-x^2]dx 的定积分：
（1）当m是奇数,∫x^m*exp[-x^2]dx =1/2 *∫x^（m-1）*exp[-x^2]dx^2 =1/2*[（m-1）/2]!
（2）当m是偶数,∫x^m*exp[-x^2]dx =√∫x^m*exp[-x^2]dx ∫y^m*exp[-y^2]dy=√∫（sinθcosθ）^mdθ∫r^2m*exp[-r^2]rdr=√（1/2^m）*∫（sin2θ）^mdθ * (m!/2)（dθ积分上下限为0到π/2）=√（1/2^m）*（m-1）!/m!*(π/2)*(m!/2)=（m-1）!* √π /2^[m/2+1]