请问这个积分怎么求阿?∫exp(x^2)x^4dx给个详细过程好吗?如果不可积的话那么求均方根速率的积分怎么做啊?已知麦克斯韦分布F(v)=4π(m/2πkT)^(3/2)v^2exp[-mv^2/2kt]求∫F(v)v^2dv积分上下限为0到正无

Question

请问这个积分怎么求阿?
∫exp(x^2)x^4dx给个详细过程好吗?
如果不可积的话那么求均方根速率的积分怎么做啊?
已知麦克斯韦分布 F(v)=4π(m/2πkT)^(3/2)v^2exp[-mv^2/2kt]
求∫F(v)v^2dv 积分上下限为0到正无穷

Answer 1

Exp(x^2)*(-((3*x)/4) + x^3/2) + 3/8*Sqrt[Pi]*Erfi[x]
这里必须引进Erfi[x]函数,其实原函数是不可以积分的即不可积
Erfi[x]＝1/Sqrt[Pi]*∫exp(x^2)dx
要积出来原式用分部积分法
∫exp(x^2)x^4dx＝∫1/2*x^4d（exp(x^2)）
∫udv=uv- ∫v'du
这样就可以得到以上结果
申明一下你原要求的为∫exp(x^2)x^4dx是不可积的,且指数为正的平方所以上下限为0到正无穷不收敛
而麦克斯韦分布 F(v)=4π(m/2πkT)^(3/2)v^2exp[-mv^2/2kt]
里面指数为负指数的平方,虽然仍不可积但是收敛
求∫F(v)v^2dv 积分上下限为0到正无穷可以通过分部积分法和参数变换化简到只关于∫exp(-v^2)dv 从0到无穷的积分
这个积分可以通过特殊的方法算出来如下（需要二重积分知识）
取A＝∫exp(-x^2)dx B=∫exp(-y^2)dy（都是0到无穷）显然两积分值相等A^2=AB=∫∫exp(-x^2--y^2)dxdy
然后极坐标变换x=rcos(s),y=rsin(s),
带入就可以算出其积分值A^2=2pi,A=sqrt(2pi)