四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝π3，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）求证：AD⊥PB；（3）若点E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF

Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝(π)/(3)，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若点E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？

Answer 1

（1）如图
过P作PM⊥AD于M，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PM⊂平面PAD，
∴PM⊥面ABCD； 
又PA=PD=5，AD=8
∴M为AD的中点，且PM=√(52−42)=3，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝(π)/(3)，AD=8，
∴V_P-ABCD=(1)/(3)×8×8×sin(π)/(3)×3=(1)/(3)×64×(√(3))/(2)×3=32√(3)，
∴四棱锥P-ABCD的体积为32√(3)；
（2）证明：连接BM，BD；
∵BD=BA=8，AM=DM，∠BAD＝(π)/(3)，∴AD⊥BM，
又AD⊥PM，且BM∩PM=M，
∴AD⊥平面PMB，
∵PB⊂平面PMB，
∴AD⊥PB；
（3）能找到，并且点F为棱PC的中点，
证法一：∵F为PC的中点，点E为BC的中点，∴EF∥PB；
又由（2）可知AD⊥PB，∴AD⊥EF，
由AD⊥BM，BM∥DE，∴AD⊥DE；
又AD⊥EF，且DE∩EF=E，∴AD⊥面DEF；
又AD⊂面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD；
证法二：设CM∩DE=O，连FO，∴O为MC的中点；
在△PMC中，FO∥PM，
∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD，
又FO⊂面DEF，∴面DEF⊥面ABCD．