已知e1,e2,e3是不共面向量,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3已知e1、e2、e3是不共面向量,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,又d=αa+βb+γc,则α、β、γ分别为（）.

Question

已知e1,e2,e3是不共面向量,若a=e1+e2+e3 ,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3
已知e1、e2、e3是不共面向量,若a=e1+e2+e3 ,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3 ,又d=αa+βb+γc ,则α、β、γ分别为（ ）.

Answer 1

已知e₁、e₂、e₃是不共面向量,若a=e₁+e₂+e₃,b=e₁+e₂-e₃,c=e₁-e₂+e₃,d=e₁+2e₂+3e₃；
又d=αa+βb+γc ,则α、β、γ分别为（ ）.
d=α(e₁+e₂+e₃)+β(e₁+e₂-e₃)+γ(e₁-e₂+e₃)
=(α+β+γ)e₁+(α+β-γ)e₂+(α-β+γ)e₃=e₁+2e₂+3e₃
故得等式：
α+β+γ=1.(1)
α+β-γ=2.(2)
α-β+γ=3.(3)
(1)+(2)得2(α+β)=3,故α+β=3/2.(4)
(2)+(3)得2α=5,故α=5/2；代入(4)式得β=3/2-α=3/2-5/2=-1；
将α和β的值代入(2)式得γ=α+β-2=5/2-1-2=-1/2.
即α=5/2；β=-1；γ=-1/2.