已知fx=sin^2(πx/4)-根号3sinπx/4cosπx/4如题,1,求fx的最大值以及此时x的值2,求f1+f2+f3+f4+...+f2012+f2013的值

Question

已知fx=sin^2(πx/4)-根号3sinπx/4cosπx/4
如题,1,求fx的最大值以及此时x的值
2,求f1+f2+f3+f4+...+f2012+f2013的值

Answer 1

半角公式
sin^2 x= (1-cos2x)/2
sinxcosx=(sin2x)/2
f(x)=sin^2(πx/4)-根号3sinπx/4cosπx/4
=(1-cos(πx/2))/2-(根号3/2)sin(πx/2)
=1-[(1/2)cos(πx/2)+(根号3/2)sin(πx/2)]
=1-sin(πx/2+π/6)
最大值为1-(-1)=2,
此时πx/2+π/6=2kπ-π/2
x=4k-4/3, k是任意整数
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2013=4*503+1
注意f5=1-sin(π*5/2+π/6)=1-sin(π*5/2+π/6-2π)=1-sin(π/2+π/6)=f1
即f(n+4)=f(n)
f1+f2+f3+f4+...+f2012+f2013
=2013*1-{[sin(π/2+π/6)+sin(2*π/2+π/6)+sin(3*π/2+π/6)+sin(4*π/2+π/6)]*503+sin(π/2+π/6)}
=2013-{0*503+sin(π/3)}
=2013-(根号3)/2