如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若sin∠C=1213，BC=12，求AD的长．

Question

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．

（1）求证：AC=BD；
（2）若sin∠C=(12)/(13)，BC=12，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=(AD)/(BD)，cos∠DAC=(AD)/(AC)，
又∵tanB=cos∠DAC，
∴(AD)/(BD)=(AD)/(AC)，
∴AC=BD．
（2）在Rt△ADC中，sinC＝(12)/(13)，
故可设AD=12k，AC=13k，
∴CD=√(AC2−AD2)=5k，
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12，
∴18k=12，
∴k=(2)/(3)，
∴AD=12k=12×(2)/(3)=8．