如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S．若对角线AC与BD相交于T．求证：R，T，S三点共线．

Question

如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S．若对角线AC与BD相交于T．求证：R，T，S三点共线．

Answer 1

证明：如图，
连接PD，AS，RC，BR，AP，SD．
由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知(BR)/(PA)＝(EB)/(EP)，(PA)/(DS)＝(FP)/(FD)．
两式相乘，得(BR)/(DS)＝(EB•FP)/(EP•FD)①，
又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知(CR)/(PD)＝(EC)/(EP)，(PD)/(AS)＝(FP)/(FA)．两式相乘，得(CR)/(AS)＝(EC•FP)/(EP•FA)②，
由①，②得(BR•AS)/(DS•CR)＝(EB•FA)/(EC•FD)．故(BR)/(RC)•(CD)/(DS)•(SA)/(AB)=(EB)/(BA)•(AF)/(FD)•(DC)/(CE)③，
对△EAD应用梅涅劳斯定理，有(EB)/(BA)•(AF)/(FD)•(DC)/(CE)＝1④
由③，④得(BR)/(RC)•(CD)/(DS)•(SA)/(AB)＝1．
∴BD，RS，AC交于一点，
所以R，T，S三点共线．