（用向量方法解决）已知直角△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=1/2AB(2)若E为CD的中点,连结AE并延长交BC与F,求AF的长度（用m,n表示）

Question

（用向量方法解决）已知直角△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n .
(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=1/2AB
(2)若E为CD的中点,连结AE并延长交BC与F,求AF的长度（用m,n表示）

Answer 1

以C为原点,CB为x轴,CA为y轴,建立直角坐标系
则A(0,m),B(n,0)
AB=(n,0)-(0,m)=(n,-m)
D点坐标为(0,m)/2+(n,0)/2=(n/2,m/2)
CD=(n/2,m/2)
CD=√(n²/4+m²/4)=1/2√(n²+m²)
AB=√(n²+m²)
即CD=1/2AB


2)
有1）知E(n/4,m/4)
设F点坐标为(a,0)
则FE=(n/4-a,m/4)
AE=(n/4,-3m/4)
存在β≠0使得AE=βFE
由此得a=n/3
AF=(n/3,-m)
AF=√(n²/9+m²)