如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点D在边BC上，∠ADC=60°，且BD=12CD．将△ACD以直线AD为轴做轴对称变换，得到△AC′D，连接BC′（Ⅰ）求证：BC′⊥BC；（Ⅱ）求∠C的大小．

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点D在边BC上，∠ADC=60°，且BD=(1)/(2)CD．将△ACD以直线AD为轴做轴对称变换，得到△AC′D，连接BC′
（Ⅰ）求证：BC′⊥BC；
（Ⅱ）求∠C的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵△AC'D是△ACD以AD为轴对称变换得到的，
∴△AC′D≌△ACD．
有C′D=CD，∠ADC′=∠ADC．
∵BD=(1)/(2)CD，∠ADC=60°，
∴BD=(1)/(2)C′D，∠BDC'=180°-∠ADC′-∠ADC=60°．
取C'D中点P，连接BP，则△BDP为等边三角形，△BC′P为等腰三角形，
有∠BC′D=(1)/(2)∠BPD=(1)/(2)∠BDC′=30°．
∴∠C'BD=90°，
即BC′⊥BC．

（Ⅱ）如图，过点A分别作BC，C'D，BC'的垂线，垂足分别为E，F，G．
∵∠ADC'=∠ADC，即点A在∠C′DC的平分线上，
∴AE=AF．
∵∠C'BD=90°，∠ABC=45°，
∴∠GBA=∠C′BC-∠ABC=45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG=AE．
于是，AG=AF，则点A在∠GC′D的平分线上．
又∵∠BC′D=30°，有∠GC'D=150°．
∴∠AC′D=(1)/(2)∠GC′D=75°．
∴∠C=∠AC′D=75°．