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如图，在河的对岸可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN=75°，∠NPQ=45°，∠MQP=30°，∠MQN=45°，试求两个目标物M，N之间的距离．
题目详情
如图，在河的对岸可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN=75°，∠NPQ=45°，∠MQP=30°，∠MQN=45°，试求两个目标物M，N之间的距离．
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▼优质解答
答案和解析
根据题意，知|PQ|=40，∠PMQ=30°，∠PNQ=60°
在ΔMPQ中，由正弦定理，得
即
…(4分)
在ΔNPQ中，由正弦定理，得
即
…(8分)
在ΔMQN中，由余弦定理，知|MN|2=|MQ|2+|NQ|2-2|MQ||NQ|cos∠MQN
故
从而
…(12分)
故两个目标物M、N之间的距离是
米
【分析】在ΔMPQ和ΔNPQ中，利用正弦定理分别求MQ、NQ；在ΔMQN中，利用余弦定理可求两个目标物M、N之间的距离．
根据题意，知|PQ|=40，∠PMQ=30°，∠PNQ=60°
在ΔMPQ中，由正弦定理，得
即
…(4分)在ΔNPQ中，由正弦定理，得
即
…(8分)在ΔMQN中，由余弦定理，知|MN|2=|MQ|2+|NQ|2-2|MQ||NQ|cos∠MQN
故
从而
…(12分)故两个目标物M、N之间的距离是
米【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生综合分析问题和解决实际问题的能力，属于中档题．
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