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如图,在河的对岸可以看到两个目标物M,N,但不能到达,在河岸边选取相距40米的两个目标物P,Q两点,测得∠MPN=75°,∠NPQ=45°,∠MQP=30°,∠MQN=45°,试求两个目标物M,N之间的距离.
题目详情
如图,在河的对岸可以看到两个目标物M,N,但不能到达,在河岸边选取相距40米的两个目标物P,Q两点,测得∠MPN=75°,∠NPQ=45°,∠MQP=30°,∠MQN=45°,试求两个目标物M,N之间的距离.
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▼优质解答
答案和解析
根据题意,知|PQ|=40,∠PMQ=30°,∠PNQ=60°
在ΔMPQ中,由正弦定理,得
即…(4分)
在ΔNPQ中,由正弦定理,得
即…(8分)
在ΔMQN中,由余弦定理,知|MN|2=|MQ|2+|NQ|2-2|MQ||NQ|cos∠MQN
故
从而…(12分)
故两个目标物M、N之间的距离是米
【分析】在ΔMPQ和ΔNPQ中,利用正弦定理分别求MQ、NQ;在ΔMQN中,利用余弦定理可求两个目标物M、N之间的距离.
根据题意,知|PQ|=40,∠PMQ=30°,∠PNQ=60°
在ΔMPQ中,由正弦定理,得
即…(4分)
在ΔNPQ中,由正弦定理,得
即…(8分)
在ΔMQN中,由余弦定理,知|MN|2=|MQ|2+|NQ|2-2|MQ||NQ|cos∠MQN
故
从而…(12分)
故两个目标物M、N之间的距离是米
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生综合分析问题和解决实际问题的能力,属于中档题.
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