已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点M的坐标为（1，-2）与y轴交于点C（0，−32），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）．（1）求此抛物线的表达式；（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合）

Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点M的坐标为（1，-2）与y轴交于点C（0，−(3)/(2)），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=(√(2))/(2)y₁，求y₁与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由；
②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点为M（1，-2）可设y=a（x-1）²-2，
由点（0，−(3)/(2)）得：a−2＝−(3)/(2)，
∴a＝(1)/(2)．
∴(MP)/(MB)＝(MQ)/(MP)，即y＝(1)/(2)x2−x−(3)/(2)．

（2）在x₂=3中，由y=0，得(1)/(2)x2−x−(3)/(2)＝0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A为（-1，0），B为（3，0）．
∵M（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB=2√(2)，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MPB，
∴(MP)/(MB)＝(MQ)/(MP)，
∴MP2＝MB⋅MQ，
即22+(x−1)2＝2√(2)•(√(2))/(2)y1，
∴y1＝(1)/(2)(x−1)2+2（0≤x＜3）．

（3）①存在点Q，使QP=QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形，
作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此时MP⊥x轴，
∴P为（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐标为（2，-1）．
②使△BMF是等腰三角形的F点有：
F₁（1，0），F₂（1，−2+2

作业帮用户 2017-10-31

问题解析

（1）设抛物线的表达式为y=a（x-1）²-2，将点C的坐标代入即可得出答案；
（2）先证明△MPQ∽△MPB，根据相似的性质列等式，求y₁与x的函数关系式；
（3）①假设存在满足条件的P点，根据条件△PQB是PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，QP=QB．求出P点和Q点坐标；②根据△BMF是等腰三角形，只要点F使得该三角形的两边相等即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，有一定难度，注意对各部分知识的熟练掌握以便灵活应用．

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