第一题∫f(ax+b)dx=1/a∫f(u)du(a≠0,u=ax+b),请问这个结果是怎么推算出来的?第二题设∫f(x)dx=Insinx+C,求∫xf(1-x^2)dx

Question

第一题
∫f(ax+b)dx=1/a∫f(u)du (a≠0,u=ax+b),请问这个结果是怎么推算出来的?
第二题
设∫f(x)dx=Insinx+C,求∫xf(1-x^2)dx

Answer 1

这是第一换元积分法,令u=ax+b,du=adx,dx=1/adu
∫f(ax+b)dx=1/a∫f(u)du
2）令u＝1-x^2,du=-2xdx,xf(1-x^2)dx= -1/2f(u)du
∫xf(1-x^2)dx=1/2∫f(1-x^2)d(x^2)=-1/2∫f(1-x^2)d(1-x^2)=(-1/2)lnsin(1-x^2)+C