如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：△AND≌△CBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边

Question

如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.
（1）求证：△AND≌△CBM.
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？
（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.

Answer 1

（1）证明见解析（2）不是菱形，理由见解析（3）2

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。
∴∠DAC=∠BCA。
又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。
∴△AND≌△CBM（ASA）。
（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。
又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，
∴FN=EM。
又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，
∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。

四边形MFNE不是菱形，理由如下：
由翻折的性质，得∠CEM=∠B=90 ⁰ ，
∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。
∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。
（3）∵AB=4，BC=3，∴AC=5。
设DN=x，则由S _{△ ADC} =S _{△ AND} ＋S _{△ NAC} 得
3 x＋5 x=12，解得x= ，即DN=BM= 。
过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。

在△NHM中，NH=3，HM=1，
由勾股定理，得NM= 。
∵PQ∥MN，DC∥AB，
∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM= 。
又∵PQ=CQ，∴CQ= 。
在△CBQ中，CQ= ，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。
∴NP=MQ= 。∴PC=4－ － =2。
（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。
（3）设DN=x，则由S _{△ ADC} =S _{△ AND} ＋S _{△ NAC} 可得DN=BM= 。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理可得NM= ，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ= 。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。