折纸的思考．操作体验用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB>BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸

Question

折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB>BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为___cm．

Answer 1

（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，
∴PB=PC，PB=CB，
∴PB=PC=CB，
∴△PBC是等边三角形．
（2） 以(3√(3))/(2)点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P₁BC₁；
再以点B为位似中心，将△△P₁BC₁放大，使点C₁的对称点C₂落在CD上，得到△P₂BC₂；
如图⑤所示；
（3） 本题答案不唯一，举例如图⑥所示；
（4） 如图⑦所示：
△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=CD，
∴∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，
∴(AE)/(DC)=(EF)/(CE)=(1)/(4)，
设AE=x，则AD=CD=4x，
∴DE=AD-AE=3x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）²+（4x）²=4²，
解得：x=(4)/(5)，
∴AD=4×(4)/(5)=(16)/(5)；
故答案为：(16)/(5)．