如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=6．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求三棱锥E-ABC的体积．

Question

如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=√(6)．
（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，
由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=√(3)，
在多面体中，由AC=√(6)，得AG²+CG²=AC²，
∴AG⊥GC，
又GC∩BE=G，GC，BE⊂平面BCDE，
∴AG⊥平面BCDE，
又AG⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．
（2） 连结AE，CE，则AG为三棱锥A-BCE的高，GC为△BCE的高，
在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4，
∴S△BCE=(1)/(2)×4×√(3)=2√(3)，
∴V_E-ABC=V_A-BCE=(1)/(3)×2√(3)×√(3)=2．