（2012•平遥县模拟）已知函数f（x）=x2+alnx（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Question

（2012•平遥县模拟）已知函数f（x）=x²+alnx
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+(2)/(x)在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数可得f′(x)＝2x−(2)/(x)=(2(x+1)(x−1))/(x)（x＞0）
令f′（x）＞0，则-1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，则x＜-1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+(a)/(x)-(2)/(x2)，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则2x+(a)/(x)-(2)/(x2)≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥(2)/(x)-2x² 在[1，+∞）上恒成立，
设Φ（x）=(2)/(x)-2x²，∵Φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，则 g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．
∴实数a的取值范围[0，+∞）