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(2010•平房区一模)如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为AB边中点,以点D为顶点作∠PDQ=90°,DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F,分别过E、F作AB的垂线,垂足分别为M、N.(1)求证:EM+FN=22AC
题目详情
(2010•平房区一模)如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为AB边中点,以点D为顶点作∠PDQ=90°,DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F,分别过E、F作AB的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求证:EM+FN=
AC;
(2)把∠PDQ绕点D旋转,当点E在线段AC的延长线上时(如图2),则线段EM、FN、AC之间满足的关系式是
(3)在∠PDQ绕点D由图1到图2的旋转的过程中,设DP交直线BC于点G,连接BE,若FG=10,AE=3CE,求BE的长.

(1)求证:EM+FN=
| ||
2 |
(2)把∠PDQ绕点D旋转,当点E在线段AC的延长线上时(如图2),则线段EM、FN、AC之间满足的关系式是
EM-FN=
AC
| ||
2 |
EM-FN=
AC
;
| ||
2 |
(3)在∠PDQ绕点D由图1到图2的旋转的过程中,设DP交直线BC于点G,连接BE,若FG=10,AE=3CE,求BE的长.

▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接CD,
∵AC=BC,∠ACB=90°,点D为AB边中点,
∴∠ACD=∠DCB=
∠ACB=45°,CD⊥AB,
又∠A=∠B=45°,
∴∠ECD=∠FBD,
又D为Rt△ABC斜边AB的中点,
∴CD=BD=
AB,
∵∠PDQ=90°,
∴∠EDC+∠CDF=90°,
又CD⊥AB,∴∠CDF+∠FDB=90°,
∴∠EDC=∠FDB,
在△CED和△FBD中,
,
∴△CED≌△FBD(ASA),
∴ED=FD,
又∵∠MED+∠EDM=90°,∠EDM+∠FDN=90°,
∴∠MED=∠NDF,
在△EDM和△DFN中,
,
∴△EDM≌△DFN(AAS),
∴MD=FN,
又∠A=45°,∠EMA=90°,
∴∠AEM=∠A=45°,
∴AM=EM,
∴EM+FN=AM+MD=AD,
在Rt△ACD中,cosA=cos45°=
=
,即AD=
AC,
∴EM+FN=

∵AC=BC,∠ACB=90°,点D为AB边中点,
∴∠ACD=∠DCB=
1 |
2 |
又∠A=∠B=45°,
∴∠ECD=∠FBD,
又D为Rt△ABC斜边AB的中点,
∴CD=BD=
1 |
2 |
∵∠PDQ=90°,
∴∠EDC+∠CDF=90°,
又CD⊥AB,∴∠CDF+∠FDB=90°,
∴∠EDC=∠FDB,
在△CED和△FBD中,
|
∴△CED≌△FBD(ASA),
∴ED=FD,
又∵∠MED+∠EDM=90°,∠EDM+∠FDN=90°,
∴∠MED=∠NDF,
在△EDM和△DFN中,
|
∴△EDM≌△DFN(AAS),
∴MD=FN,
又∠A=45°,∠EMA=90°,
∴∠AEM=∠A=45°,
∴AM=EM,
∴EM+FN=AM+MD=AD,
在Rt△ACD中,cosA=cos45°=
AD |
AC |
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2 |
| ||
2 |
∴EM+FN=
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