（2010•闵行区二模）某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、…、第50（n-1）米至50n米的圆环面为第n区，…，现测得第1区

Question

（2010•闵行区二模）某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、…、第50（n-1）米至50n米的圆环面为第n区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：
（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量（结果精确到1千克）？
（2）第几区内的火山灰总重量最大？

Answer 1

（1）设第n区每平方米的重量为a_n千克，则a_n=1000（1-2%）^n-1=1000×0.98^n-1（2分）
第1225米位于第25区，（4分）
∴a₂₅=1000×0.98²⁴=616（千克）
故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）
（2）设第n区内的面积为b_n平方米，则b_n=π50²n²-π50²（n-1）²=2500π（2n-1）
则第n区内火山灰的总重量为C_n=a_nb_n=25×10⁵π（2n-1）×0.98^n-1（千克）（9分）
设第n区火山灰总重量最大，
则

25×105π(2n−1)×0.98n−1≥25×105π(2n−3)×0.98n−2

25×105π(2n−1)×0.98n−1≥25×105π(2n+1)×0.98n

，（13分）
解得49.5≤n≤50.5，即得第50区火山灰的总重量最大．（16分）