设x∈R，用[x]表示不超过x的最大值整数，则y=[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有①[-x]=-[x]②x-1＜[x]≤x③∀x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]④∀x≥0，y≥0，[xy]≤[x][y]⑤离实数x最近

Question

设x∈R，用[x]表示不超过x的最大值整数，则y=[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有______
①[-x]=-[x]
②x-1＜[x]≤x
③∀x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]
④∀x≥0，y≥0，[xy]≤[x][y]
⑤离实数x最近的整数是-[-x+(1)/(2)]．

Answer 1

①若x=(1)/(2)，则[-x]═[-(1)/(2)]=-1，[x]=[(1)/(2)]=0，∴①错误．
②若x是整数，则[x]=x，此时不等式x-1＜[x]≤x成立，
若x不是整数，则根据定义可知[x]＜x，且[x]＞x-1，
此时不等式x-1＜[x]≤x，成立，∴②正确．
③∀x，y∈R，x-1＜[x]≤x，y-1＜[y]≤y，
x+y-1＜[x+y]≤x+y，
若x，y至少含有一个整数，则，[x]+[y]=[x+y]成立．
若x，y都不是整数，则[x]+[y]＜[x+y]，
综上：[x]+[y]≤[x+y]，∴③正确．
④∀x≥0，y≥0，
当x=(1)/(2)，y=4时，[x]=0，[y]=4，xy=2，
即[xy]=2，此时，[xy]≤[x][y]不成立，
∴④错误．
⑤∵-[-x+(1)/(2)]=[x-(1)/(2)]，则根据高斯函数的定义可知，而此时离实数最近的整数是1，
若m−(1)/(2)＜x≤m+(1)/(2)，（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，
则m-1＜x−(1)/(2)≤m，
∴，离实数x最近的整数是m=[x-(1)/(2)]．
故⑤正确．
故答案为：②③⑤